Imaginaire pur - Corrigé

Énoncé

Soit `z=x+iy` un nombre différent de 1.

Montrer que, si `x^2+y^2=4` , alors `\frac{z+2}{z-2}` est un imaginaire pur.

Solution

`\frac{z+2}{z-2} = \frac{x^2 +y^2 -4 - 4yi}{(x-2^2 + y^2)}`

`z` est un imaginaire pur si et seulement si `\text{Re}(z)=0` si et seulement si `x^2 +y^2 -4=0` .

Donc si `x^2 +y^2 =4` , on a `\text{Re}(z)=0` , donc `z` est un nombre imaginaire pur.